搜索旋转排序数组

题面

整数数组 nums 按升序排列，数组中的值 互不相同 。

在传递给函数之前，nums 在预先未知的某个下标 k（0 <= k < nums.length）上进行了 向左旋转 ，使数组变为 [nums[k], nums[k+1], ..., nums[n-1], nums[0], nums[1], ..., nums[k-1]]（下标 从 0 开始 计数）。例如， [0,1,2,4,5,6,7] 下标 3 上向左旋转后可能变为 [4,5,6,7,0,1,2] 。

给你 旋转后 的数组 nums 和一个整数 target ，如果 nums 中存在这个目标值 target ，则返回它的下标，否则返回 -1 。

你必须设计一个时间复杂度为 O(log n) 的算法解决此问题。

示例 1：

输入： nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 0 输出： 4

示例 2：

输入： nums = [4,5,6,7,0,1,2], target = 3 输出： -1

示例 3：

输入： nums = [1], target = 0 输出： -1

提示：

• 1 <= nums.length <= 5000
• -104 <= nums[i] <= 104
• nums 中的每个值都 独一无二
• 题目数据保证 nums 在预先未知的某个下标上进行了旋转
• -104 <= target <= 104

分析

• 朴素的想法是，先使用二分找到进行左旋转的位置，此时二分的判断逻辑是什么？如果中间元素小于尾元素，说明最小值在左区间；否则在右区间；找到最小值的下标 i 后，如果 target 大于尾元素，说明 target 在 0-i 之间，否则说明在 i-nums.size()-1 区间内，实现代码如下

  class Solution {
      // 153. 寻找旋转排序数组中的最小值（返回的是下标）
      int findMin(vector<int>& nums) {
          int left = -1, right = nums.size() - 1; // 开区间 (-1, n-1)
          while (left + 1 < right) { // 开区间不为空
              int mid = left + (right - left) / 2;
              if (nums[mid] < nums.back()) {
                  right = mid;
              } else {
                  left = mid;
              }
          }
          return right;
      }
  
      // 有序数组中找 target 的下标
      int lower_bound(vector<int>& nums, int left, int right, int target) {
          while (left + 1 < right) { // 开区间不为空
              // 循环不变量：
              // nums[right] >= target
              // nums[left] < target
              int mid = left + (right - left) / 2;
              if (nums[mid] >= target) {
                  right = mid; // 范围缩小到 (left, mid)
              } else {
                  left = mid; // 范围缩小到 (mid, right)
              }
          }
          return nums[right] == target ? right : -1;
      }
  
  public:
      int search(vector<int>& nums, int target) {
          int i = findMin(nums);
          if (target > nums.back()) { // target 在第一段
              return lower_bound(nums, -1, i, target); // 开区间 (-1, i)
          }
          // target 在第二段
          return lower_bound(nums, i - 1, nums.size(), target); // 开区间 (i-1, n)
      }
  };

• 实际上，可以将两个二分过程合并，设 x 是现在取到的数，那么其关系如下

  • 如果 x 和 target 在不同的递增段：
    • 如果 target 在第一段，x 在第二段，说明 target 在 x 的左边
    • 如果 x 在第一段，target 在第二段，说明 target 在 x 的右边
  • 如果 x 和 target 在相同的递增段：
    • 和 lowerBound 函数一样，比较 x 和 target 的大小即可

• 代码实现

  class Solution {
  public:
      int search(vector<int>& nums, int target) {
          int last = nums.back();
          int left = -1, right = nums.size() - 1; // 开区间 (-1, n-1)
          while (left + 1 < right) { // 开区间不为空
              int mid = left + (right - left) / 2;
              int x = nums[mid];
              if (target > last && x <= last) { // target 在第一段，x 在第二段
                  right = mid; // 下轮循环去左边找
              } else if (x > last && target <= last) { // x 在第一段，target 在第二段
                  left = mid; // 下轮循环去右边找
              } else if (x >= target) { // 否则，x 和 target 在同一段，这就和方法一的 lower_bound 一样了
                  right = mid;
              } else {
                  left = mid;
              }
          }
          return nums[right] == target ? right : -1;
      }
  };

• 一种分治思想是，将旋转后的数组分为左右两个数组，两个数组中必定有一个是有序的，而根据子数组的首尾元素比较就可以确定是否有序；这样一直划分，最后一定能划分到完全有序的子数组

• 实现代码

  class Solution {
  public:
      int binarySearch(vector<int>& nums, int target, int left, int right) {
          int mid = 0;
          while (left <= right) {
              mid = left + (right - left) / 2;
              if (nums[mid] < target) {
                  left = mid + 1;
              } else if (nums[mid] > target) {
                  right = mid - 1;
              } else {
                  return mid;
              }
          }
          return -1;
      }
      int searchChildArray(vector<int>& nums, int target, int left, int right) {
          // 递归终止条件：区间无效/只有一个元素
          if (left > right)
              return -1;
          if (left == right)
              return nums[left] == target ? left : -1;
  
          int mid = left + (right - left) / 2;
          if (nums[left] <= nums[mid]) {
              int res = binarySearch(nums, target, left, mid);
              return res != -1 ? res
                               : searchChildArray(nums, target, mid + 1, right);
          }
          else {
              int res = binarySearch(nums, target, mid + 1, right);
              return res != -1 ? res : searchChildArray(nums, target, left, mid);
          }
      }
  
      int search(vector<int>& nums, int target) {
          if (nums.empty())
              return -1;
          return searchChildArray(nums, target, 0, nums.size() - 1);
      }
  };