旋转图像

题面

给定一个 n × n 的二维矩阵 matrix 表示一个图像。请你将图像顺时针旋转 90 度。

你必须在原地 旋转图像，这意味着你需要直接修改输入的二维矩阵。请不要 使用另一个矩阵来旋转图像。

示例 1：

输入： matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]] 输出：[[7,4,1],[8,5,2],[9,6,3]]

示例 2：

输入： matrix = [[5,1,9,11],[2,4,8,10],[13,3,6,7],[15,14,12,16]] 输出：[[15,13,2,5],[14,3,4,1],[12,6,8,9],[16,7,10,11]]

提示：

• n == matrix.length == matrix[i].length
• 1 <= n <= 20
• -1000 <= matrix[i][j] <= 1000

分析

• 可以使用辅助数组，对于矩阵中第 i 行的第 j 个元素，在旋转后，它出现在倒数第 i 列的第 j 个位置

• 公式为

  $$matrix_{new}[col][n-row-1]=matrix[row][col]$$

• 它阻止了原地旋转，这是因为如果直接赋值，原矩阵的值就会被覆盖

• 那么 $matrix[col][n-row-1]$ 旋转后到哪里？计算可以得到

  $$matrix[n−row−1][n−col−1]=matrix[col][n−row−1]$$

• 如此往复计算，得到一个循环覆盖的流程

  $$\begin{cases} \text{temp} &= \text{matrix}[\text{row}][\text{col}] \\ \text{matrix}[\text{row}][\text{col}] &= \text{matrix}[n - \text{col} - 1][\text{row}] \\ \text{matrix}[n - \text{col} - 1][\text{row}] &= \text{matrix}[n - \text{row} - 1][n - \text{col} - 1] \\ \text{matrix}[n - \text{row} - 1][n - \text{col} - 1] &= \text{matrix}[\text{col}][n - \text{row} - 1] \\ \text{matrix}[\text{col}][n - \text{row} - 1] &= \text{temp} \end{cases}$$

• 代码实现

  class Solution {
  public:
      void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
          int n = matrix.size();
          for (int i = 0; i < n / 2; ++i) {
              for (int j = 0; j < (n + 1) / 2; ++j) {
                  int temp = matrix[i][j];
                  matrix[i][j] = matrix[n - j - 1][i];
                  matrix[n - j - 1][i] = matrix[n - i - 1][n - j - 1];
                  matrix[n - i - 1][n - j - 1] = matrix[j][n - i - 1];
                  matrix[j][n - i - 1] = temp;
              }
          }
      }
  };

• 可以用翻转代替旋转，即先通过水平轴翻转，然后用主对角线进行翻转

• 代码实现

  class Solution {
  public:
      void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {
          int n = matrix.size();
          // 水平翻转
          for (int i = 0; i < n / 2; ++i) {
              for (int j = 0; j < n; ++j) {
                  swap(matrix[i][j], matrix[n - i - 1][j]);
              }
          }
          // 主对角线翻转
          for (int i = 0; i < n; ++i) {
              for (int j = 0; j < i; ++j) {
                  swap(matrix[i][j], matrix[j][i]);
              }
          }
      }
  };